引言
隨着大學入學的日子一天一天臨近，筆者收到了很多「准大學生」們的來信，他們對即將到來的大學生活心裏充滿了期待，但又有一絲絲的擔心：大學的課程到底難不難？大學的生活到底能不能適應？尤其是作為數學老師，筆者聽到的最多的就是對未來大學數學課程的擔憂。因為數學一直是最難的學科之一，高中數學已經讓很多人心有餘悸了，而到了大學聽說還要學習「高等數學」，「我一個初等數學都繞暈的人，上了大學該怎麼辦呀？」
這種擔心就好比中考完即將步入高中的學生，而且事實上，大學數學與高中數學之間的鴻溝要遠遠大於高中數學與初中數學之間的。那麼今天就來談一談，准大學生們如何面對未來的大學數學課程學習。
大學要學習哪些數學課程？
大學與高中最大的一個不同就是分專業授課，不同的專業學習不同的課程，數學課也是如此。
總體來看，大概分成5個層次。
- 第一檔：數學系的專業數學
數學系就是把數學本身當成自己的專業，因此學的也是最純粹、最艱深的數學。一般來說，基礎課程主要有數學分析，高等代數，解析幾何，更專業一點的課程有實變函數，複變函數，抽象代數，微分方程，泛函分析，層次高的學校還會學習微分幾何，點集拓撲等更艱深的專業課程。這些課程光名字聽起來就讓人頭暈目眩，學起來更是絞殺無數腦細胞。不過關於專業數學課的學習筆者已經寫過很多文章，在此就不再贅述。
- 第二檔：非數學的理科專業
像物理，化學等等，這些專業不是數學，但也屬於理科專業，對數學的要求也很高。有的達到幾乎和數學系相同的水平，同時還會開設一些物理化學中所着重用到的數學課程，比如群論。
- 第三檔：工科專業
工科專業是我國大學專業的主體，比如計算機，電子，通信，土木，機械等等都屬於工科專業。工科專業要學習的數學課程就是我們通常所說的三大門：高等數學，線性代數，概率論與數理統計。這三門課也是相應考研必考的三門。有的專業還會根據自己的需要開設複變函數與積分變換等課程。這些數學是工科學生所必須掌握的，但是難度要小於數學專業，不注重原理與證明，而更多地偏向於計算。
- 第四檔：經管類數學
該數學是給經濟學、管理學、商學等專業的學生開設的，內容基本也是三大門：高等數學，線性代數，概率論與數理統計，但是內容進一步縮減，難度進一步降低。刪掉了很多理論性的知識。
- 第五檔：文科數學
這是難度最低的一檔，給一些所謂的純文科，比如政治學、文學、外語、法學等專業開設的，基本上就屬於科普性質了。只對高等數學，線性代數，概率論與數理統計中一些基本的概念做一個簡要的介紹。
大學數學課程主要學習哪些內容？
我們只來介紹一下學習人數最多的三大門課程。
- 高等數學
高等數學的主體是微積分，還摻雜了一些少量的其他內容，比如空間解析幾何，微分方程等。高等數學是以高中數學聯繫最緊密的一科，因為大家在高中已經學習過導數這部分內容，而導數其實就是微積分的前半部分。當然，大學再講導數就要比高中講得更加深入和全面，不僅要學習他的原理與證明，還要學習各種各樣新的應用。
而導數的逆運算就是積分，微分和積分合在一起就是微積分。並且在研究過程中需要使用「極限」這一新的概念和工具，因此要系統地學習極限理論，包括無窮級數理論。
自然界中的很多現象都可以用微積分解釋
- 線性代數
線性代數對於只參加過高考的中國學生而言，應該是一門相當陌生的學科。它的主要研究對象是向量，矩陣，行列式，線性方程組和線性空間，以及他們的性質與之間的相互聯繫。這其中的許多概念在高中完全沒有接觸過，因此對學生而言是一門比較新的學科。但這其實是它的一個優點，因為是新的研究對象，因此需要的高中基礎知識並不多，所以對那些高中數學基礎不好的學生而言，未嘗不是一件好事。
線性代數主要研究各種空間
- 概率論與數理統計
概率論其實也是高中學過的內容，學生也不會覺得陌生。但是高中學習的只能被稱之為古典概率論，到了大學，則要從理論的高度進行學習，就是所謂的公理概率論。會從集合論的角度將概率論建立在一套堅實的公理基礎之上，並由此衍生出隨機變量，數學期望，方差，相關係數等一系列概念。當然，非數學專業學習的還只是公理概率論的皮毛而已，而真正的公理概率論是在數學專業的概率論課程里才能學到。
以概率論為基礎，還要學習數理統計這部分內容，二者相互有聯繫但是又有區別。最主要包括統計分佈，假設檢驗和參數估計三部分內容。
大學數學與高中數學有哪些區別
非專業的數學與專業的數學相比差異還是非常大的。非專業的數學基本上還是高中數學的延續，無非就是引入了新的研究對象，介紹了一些新的概念和計算方法，在思想內核上和高中數學是一脈相承的。題目還是以計算題為主，不太會去深究概念的本質與內涵，因此還屬於「做題機器」式的學習。當然，這麼做是有原因的，非數學專業的學生學習，數學目的主要是把數學當成一種工具，學生只需要學會怎麼使用工具，甚至是熟練地使用，並用它來進行更複雜的操作，解決實際的問題就夠了。
但是專業的數學則完全不同了，與高中數學相比，它幾乎就是另外一門學科。或者更準確地說，大學裏的專業數學才是真正的數學，高中數學都不能被稱之為「數學」(mathematics)，只能被稱之為「算術」(arithmetic)。
那麼大學的專業數學究竟有何不同的？主要表現在以下幾個方面。
- 1.二者的思維方式不同
中學及以前的數學被稱為初等數學，而大學開始的數學則被稱為高等數學，當然，這裡的高等數學指的並不是《高等數學》這門課程，而是指的層次高一等的數學。那麼他究竟高在哪裡呢？主要就是引入了「極限」(limit)和「無窮」(infinity)這兩個概念，並且把極限當成一個動態變化的過程，而非結果。
用動態變化的觀點來看待數學概念，是初等數學中所沒有的。當然，初等數學中也會講到「函數」(function)等概念，裏面也會涉及到「自變量」與「因變量」這種叫法，並且函數的定義域也可以是整個實數軸，即從負無窮到正無窮。但是初等數學僅僅止步於對函數的各種計算與性質的研究，而沒有對「變化」、「極限」、「無窮」的本質進行探討。而高等數學最明顯的一個標誌就是，利用動態的觀點來深入探討了上述概念的本質，並給出了嚴格的數學定義。
例如關於數列極限的「ε-N」定義，就是利用任意有限狀態來逼近無限狀態，或者說用動態的有限來逼近靜態的無限，是一種具有顛覆性與革命性的思想，因此也帶來了完全不同於初等數學的思維方式。
極限的幾何解釋
以此為基礎，到後面發展出了整套微積分的理論，因此可以說，整套微積分理論就是建立在這種動態變化的思維方式之上的。後面的每一個概念，比如連續，導數，積分等等，都是按照這種思維方式來展開的。因此要想學好大學專業數學，就必須儘快適應這種全新的思維方式。
- 2.二者的研究路徑不同
這裡我想做一個比喻：將數學比作一棵大樹，高中數學和大學數學則是沿着兩個完全相反的方向來發展。高中數學就好比大樹的枝幹，它的任務就是不停地向上生長，長出更多的葉子；而大學數學則比較類似於樹根，它的任務就是不停地向下生長，往更深的地方進軍，為整個大樹提供更堅實的基礎。
具體來說，高中數學中介紹了很多新的概念，比如集合，數列，不等式，向量等等，這些概念我們其實並沒有給他精確的數學定義，也沒有深究他們的本質，而是在大致地了解了它們的意思之後就開始做題，利用各種公式進行複雜的計算，利用各種技巧進行精妙的推導，就猶如一棵樹榦上不停地長出新的枝葉，那就是一道道的難題，計算越來越複雜，技巧越來越高超，整個大樹就看起來枝繁葉茂，鬱鬱蔥蔥。
但是大學數學的重點則不是這些，它不會去追求那些天馬行空的技巧，而是重點探討這些概念的嚴格定義與本質含義，不停地深入挖掘這些概念背後的內涵。哪怕是最最基礎的數學概念，也要用最最嚴格的語言來對其進行界定。例如在分析基礎和抽象代數這類科目中，我們會去研究究竟什麼是1，什麼是0，什麼是加法，什麼是乘法，甚至會讓你去證明1+1=2，證明x-x=0，這些問題對於沒有接觸過專業數學的人來說簡直是不可思議，但其實這些才是數學中最最重要的問題。數學是最為嚴密的一個邏輯體系，而這些則是整個邏輯體系的基礎與開端。只有基礎打牢了，學科才能繼續往下發展，這一點是其他所有學科都不具備的，也是所有數學專業學生最應該認清楚的一個事實。
- 3.二者的解題思路不同
做題是數學學習中最重要的步驟之一，學生通過做習題來熟悉公式，理解概念。但是高中數學與大學數學在解題的思路上卻存在着明顯的不同。
高中數學中概念比較簡單，但是題目卻非常難，除了各種複雜的計算之外，還要使用各種各樣的技巧，比如放縮法，待定係數法，換元法，數形結合法，裂項法，設而不求法，作差法等等，各種各樣的技巧令人眼花繚亂。而所謂的解題高手或智商高的人，就是能從這麼多紛繁複雜的技巧當中，迅速地選出合適且正確的技巧，並最終得到出題人想要的結果。不得不承認，這的確是一種智商高的表現。
而大學數學則與高中數學恰好相反，它的題目技巧性沒有那麼強，但是概念卻非常難理解。如果說中學數學解題靠的是智商，那麼大學數學解題靠的則是「洞察力」，看看你對數學概念的理解有多到位，多深刻。大學數學的題目通常就是對概念本質的考察，有時題目本身即可以看作某個概念更深層次的理解過程。學生不必糾結於高中數學那麼紛繁複雜的技巧，而是應該平心靜氣，閉目沉思，對概念的理解越深入，那麼做起題來就越容易。
儘管高智商的人通常也會具有敏銳的洞察力，但這兩種能力畢竟是不同的，有時凝神靜氣的思索反而勝於靈光乍現的閃念。所以高中數學學得好的人，大學數學未必能學得好，反之高中數學學的不好的人，到了大學反而有可能如魚得水。
大學數學該如何學習？
正因為有着以上種種的不同，因此大學數學的學習方法也與高中是截然不同的。在高中，課本只是提供了一個大綱，而真正的精華則在輔導書上；而到了大學則恰恰相反，全部的精華都在課本上。因此大學數學最重要的方法便是反覆閱讀課本。正常情況下，除了老師課堂講的一遍，課下應至少再仔細精讀兩遍，而對於某些重點的或者較難理解的概念，則應該多次閱讀，一個字都不放過，每一個詞語和符號都要仔細推敲。
當然做題也是必須的，但大學的做題不同於高中，不是追求題海戰術，更不是追求解題方法和解題技巧的訓練，而是應該通過做題加深對概念的理解。大學數學的核心是概念，任何脫離概念而進行的練習都是無意義的。
