小尼到底哪错了?北大同学揭秘春晚魔术

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今年春晚

魔术师刘谦表演了

一个与纸牌相关的魔术

精妙的设计带给观众极高的参与感

许多人纷纷拿出家中的扑克牌

跟着刘谦一起“见证奇迹”

“小尼的扑克牌没对上”

也登上了热搜

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这个魔术“奇迹”的背后

有着怎样的奥秘?

当春晚还在进行中

北京大学数学科学学院

2021级本科生刘明昊、李新宇、殷子萦

2022级本科生王秭如、黄天铭、王美潭

2023级本科生潘浩翔、王伟圣

便写出一篇科普文章

从数学的角度

带大家感受这一魔术的魅力

魔术步骤

首先,准备4张扑克牌

跟随魔术步骤

来一起“见证奇迹”

步骤1

将准备好的4张扑克牌

平均撕成两份

并叠在一起

步骤2

将牌堆顶数量为

名字字数的牌

移至牌堆底

步骤 3

将前三张牌放在牌堆中间

并取出牌堆顶的牌

放置在一旁

步骤 4

取出牌堆顶的若干张牌

插入牌堆中间

此处选择的牌数为

南方人取1张,北方人取2张

若不确定是南方人还是北方人取3张

步骤 5

男生扔掉牌堆顶1张

女生扔掉牌堆顶2张

步骤 6

执行“见证奇迹的时刻”循环

每说一个字

就取出牌堆顶一张牌放置在牌堆底

步骤 7

执行如下操作

从牌堆顶开始

每次先将牌堆顶的一张牌放在牌堆底

再扔掉牌堆顶的一张牌

重复以上操作直到只剩一张牌

检查此牌和放置在一旁的牌是否吻合

若吻合,则魔术成功

魔术揭秘

怎么样,你的扑克牌对上了吗?

下面,几位北大同学将按照步骤顺序

一步步为你揭秘背后的逻辑

步骤一

我们令选择的四张扑克牌分别为1234,将他们分别撕开后,产生了标号分别为1234的两套(半张)扑克牌,叠在一起后形成了从上至下标号分别为12341234的扑克牌堆。

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步骤二

此时我们可以注意到,无论我们将牌堆顶的多少张牌移到堆底,得到的扑克牌堆编号(从上至下)都只会有以下几种结果:

12341234(名字字数被四整除)

23412341(名字字数模四余一)

34123412(名字字数模四余二)

41234123(名字字数模四余三)

观察以上可能的牌堆,我们可以发现产生的牌堆都具有以下性质:1. 前四张牌和后四张牌的顺序完全一样2. 前四张牌和后四张牌分别是1234的一个轮换

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步骤三

从这一步开始,我们只考虑当前牌堆中排在第四及第八的两张牌,记为x,其他牌记为0。那么根据上一步的讨论,可以得到当前的牌堆形如:

000x000x

将前三张放在牌堆中间后,无论这三张放在什么位置,最终产生的牌堆都将是:

x000000x

于是乎,被选择的用于配对的牌就将是x,而另一张与之配对的牌(称为目标牌)将位于牌堆底。

步骤四

在上一步之后,牌堆的编号为000000x,于是,无论本轮中选择牌堆顶多少张牌插入牌堆中,都不会影响目标牌的位置,仍然处于牌堆底部。

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步骤五

此时男生的牌堆为:00000x女生的牌堆为:0000x

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步骤六

通过尝试可知,在经过步骤六后将得到如下的牌堆:男生:0000x0女生:00x00

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步骤七

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通过上述揭秘

相信大家不难看出

这个魔术的背后

其实是一个数学上的问题

它被称为约瑟夫问题

约瑟夫问题

设有编号为1,2,......,n的n个人围成一个圈,从第1个人开始报数,报到m时停止报数,报m的人出圈。再从他的下一个人起重新报数,报到m时停止报数,报m的出圈......按照这个规则进行下来,直到所有人全部出圈为止。求最后留下来的人编号。为了使问题简化,我们考虑n个人编号为0 ~ n-1的情况,每 m 个人退出一个人,我们称之为(n, m)问题。第一个人(即编号为在模n下同余m的人)退出之后,对剩下的 n-1 个人重新编号,则新问题的k号在原问题中对应 k+m 号。因此(n, m)问题的解 j (n, m) = j (n-1, m)+m 且 j (1, m) = 1(模n意义下)。据此,通过递推的方法可以得到 j (n, m)。在实践中,约瑟夫问题一般用代码进行求解。刘谦的魔术中使用的便是 m=2 的特殊情况。

那么主持人小尼

为什么失败了呢?

一起来看看背后的原因

根据上面的证明过程,我们不难发现:在步骤3与步骤4中,如果操作正确,每位主持人手中最底部的一张牌没有变化,而这恰好是步骤7后留下的一张牌。

然而,在进行步骤4时,注意尼格买提的手上动作:

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镜头捕捉到插入过程中,原本位于底部的牌面花纹被另一张牌覆盖,也就是说,尼格买提并未按要求将两张牌放入中间位置,从而导致他最终匹配的失败。

听完北大同学的讲解

你理解魔术背后的数学问题了吗?

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