引言
随着大学入学的日子一天一天临近，笔者收到了很多“准大学生”们的来信，他们对即将到来的大学生活心里充满了期待，但又有一丝丝的担心：大学的课程到底难不难？大学的生活到底能不能适应？尤其是作为数学老师，笔者听到的最多的就是对未来大学数学课程的担忧。因为数学一直是最难的学科之一，高中数学已经让很多人心有余悸了，而到了大学听说还要学习“高等数学”，“我一个初等数学都绕晕的人，上了大学该怎么办呀？”
这种担心就好比中考完即将步入高中的学生，而且事实上，大学数学与高中数学之间的鸿沟要远远大于高中数学与初中数学之间的。那么今天就来谈一谈，准大学生们如何面对未来的大学数学课程学习。
大学要学习哪些数学课程？
大学与高中最大的一个不同就是分专业授课，不同的专业学习不同的课程，数学课也是如此。
总体来看，大概分成5个层次。
- 第一档：数学系的专业数学
数学系就是把数学本身当成自己的专业，因此学的也是最纯粹、最艰深的数学。一般来说，基础课程主要有数学分析，高等代数，解析几何，更专业一点的课程有实变函数，复变函数，抽象代数，微分方程，泛函分析，层次高的学校还会学习微分几何，点集拓扑等更艰深的专业课程。这些课程光名字听起来就让人头晕目眩，学起来更是绞杀无数脑细胞。不过关于专业数学课的学习笔者已经写过很多文章，在此就不再赘述。
- 第二档：非数学的理科专业
像物理，化学等等，这些专业不是数学，但也属于理科专业，对数学的要求也很高。有的达到几乎和数学系相同的水平，同时还会开设一些物理化学中所着重用到的数学课程，比如群论。
- 第三档：工科专业
工科专业是我国大学专业的主体，比如计算机，电子，通信，土木，机械等等都属于工科专业。工科专业要学习的数学课程就是我们通常所说的三大门：高等数学，线性代数，概率论与数理统计。这三门课也是相应考研必考的三门。有的专业还会根据自己的需要开设复变函数与积分变换等课程。这些数学是工科学生所必须掌握的，但是难度要小于数学专业，不注重原理与证明，而更多地偏向于计算。
- 第四档：经管类数学
该数学是给经济学、管理学、商学等专业的学生开设的，内容基本也是三大门：高等数学，线性代数，概率论与数理统计，但是内容进一步缩减，难度进一步降低。删掉了很多理论性的知识。
- 第五档：文科数学
这是难度最低的一档，给一些所谓的纯文科，比如政治学、文学、外语、法学等专业开设的，基本上就属于科普性质了。只对高等数学，线性代数，概率论与数理统计中一些基本的概念做一个简要的介绍。
大学数学课程主要学习哪些内容？
我们只来介绍一下学习人数最多的三大门课程。
- 高等数学
高等数学的主体是微积分，还掺杂了一些少量的其他内容，比如空间解析几何，微分方程等。高等数学是以高中数学联系最紧密的一科，因为大家在高中已经学习过导数这部分内容，而导数其实就是微积分的前半部分。当然，大学再讲导数就要比高中讲得更加深入和全面，不仅要学习他的原理与证明，还要学习各种各样新的应用。
而导数的逆运算就是积分，微分和积分合在一起就是微积分。并且在研究过程中需要使用“极限”这一新的概念和工具，因此要系统地学习极限理论，包括无穷级数理论。
自然界中的很多现象都可以用微积分解释
- 线性代数
线性代数对于只参加过高考的中国学生而言，应该是一门相当陌生的学科。它的主要研究对象是向量，矩阵，行列式，线性方程组和线性空间，以及他们的性质与之间的相互联系。这其中的许多概念在高中完全没有接触过，因此对学生而言是一门比较新的学科。但这其实是它的一个优点，因为是新的研究对象，因此需要的高中基础知识并不多，所以对那些高中数学基础不好的学生而言，未尝不是一件好事。
线性代数主要研究各种空间
- 概率论与数理统计
概率论其实也是高中学过的内容，学生也不会觉得陌生。但是高中学习的只能被称之为古典概率论，到了大学，则要从理论的高度进行学习，就是所谓的公理概率论。会从集合论的角度将概率论建立在一套坚实的公理基础之上，并由此衍生出随机变量，数学期望，方差，相关系数等一系列概念。当然，非数学专业学习的还只是公理概率论的皮毛而已，而真正的公理概率论是在数学专业的概率论课程里才能学到。
以概率论为基础，还要学习数理统计这部分内容，二者相互有联系但是又有区别。最主要包括统计分布，假设检验和参数估计三部分内容。
大学数学与高中数学有哪些区别
非专业的数学与专业的数学相比差异还是非常大的。非专业的数学基本上还是高中数学的延续，无非就是引入了新的研究对象，介绍了一些新的概念和计算方法，在思想内核上和高中数学是一脉相承的。题目还是以计算题为主，不太会去深究概念的本质与内涵，因此还属于“做题机器”式的学习。当然，这么做是有原因的，非数学专业的学生学习，数学目的主要是把数学当成一种工具，学生只需要学会怎么使用工具，甚至是熟练地使用，并用它来进行更复杂的操作，解决实际的问题就够了。
但是专业的数学则完全不同了，与高中数学相比，它几乎就是另外一门学科。或者更准确地说，大学里的专业数学才是真正的数学，高中数学都不能被称之为“数学”(mathematics)，只能被称之为“算术”(arithmetic)。
那么大学的专业数学究竟有何不同的？主要表现在以下几个方面。
- 1.二者的思维方式不同
中学及以前的数学被称为初等数学，而大学开始的数学则被称为高等数学，当然，这里的高等数学指的并不是《高等数学》这门课程，而是指的层次高一等的数学。那么他究竟高在哪里呢？主要就是引入了“极限”(limit)和“无穷”(infinity)这两个概念，并且把极限当成一个动态变化的过程，而非结果。
用动态变化的观点来看待数学概念，是初等数学中所没有的。当然，初等数学中也会讲到“函数”(function)等概念，里面也会涉及到“自变量”与“因变量”这种叫法，并且函数的定义域也可以是整个实数轴，即从负无穷到正无穷。但是初等数学仅仅止步于对函数的各种计算与性质的研究，而没有对“变化”、“极限”、“无穷”的本质进行探讨。而高等数学最明显的一个标志就是，利用动态的观点来深入探讨了上述概念的本质，并给出了严格的数学定义。
例如关于数列极限的“ε-N”定义，就是利用任意有限状态来逼近无限状态，或者说用动态的有限来逼近静态的无限，是一种具有颠覆性与革命性的思想，因此也带来了完全不同于初等数学的思维方式。
极限的几何解释
以此为基础，到后面发展出了整套微积分的理论，因此可以说，整套微积分理论就是建立在这种动态变化的思维方式之上的。后面的每一个概念，比如连续，导数，积分等等，都是按照这种思维方式来展开的。因此要想学好大学专业数学，就必须尽快适应这种全新的思维方式。
- 2.二者的研究路径不同
这里我想做一个比喻：将数学比作一棵大树，高中数学和大学数学则是沿着两个完全相反的方向来发展。高中数学就好比大树的枝干，它的任务就是不停地向上生长，长出更多的叶子；而大学数学则比较类似于树根，它的任务就是不停地向下生长，往更深的地方进军，为整个大树提供更坚实的基础。
具体来说，高中数学中介绍了很多新的概念，比如集合，数列，不等式，向量等等，这些概念我们其实并没有给他精确的数学定义，也没有深究他们的本质，而是在大致地了解了它们的意思之后就开始做题，利用各种公式进行复杂的计算，利用各种技巧进行精妙的推导，就犹如一棵树干上不停地长出新的枝叶，那就是一道道的难题，计算越来越复杂，技巧越来越高超，整个大树就看起来枝繁叶茂，郁郁葱葱。
但是大学数学的重点则不是这些，它不会去追求那些天马行空的技巧，而是重点探讨这些概念的严格定义与本质含义，不停地深入挖掘这些概念背后的内涵。哪怕是最最基础的数学概念，也要用最最严格的语言来对其进行界定。例如在分析基础和抽象代数这类科目中，我们会去研究究竟什么是1，什么是0，什么是加法，什么是乘法，甚至会让你去证明1+1=2，证明x-x=0，这些问题对于没有接触过专业数学的人来说简直是不可思议，但其实这些才是数学中最最重要的问题。数学是最为严密的一个逻辑体系，而这些则是整个逻辑体系的基础与开端。只有基础打牢了，学科才能继续往下发展，这一点是其他所有学科都不具备的，也是所有数学专业学生最应该认清楚的一个事实。
- 3.二者的解题思路不同
做题是数学学习中最重要的步骤之一，学生通过做习题来熟悉公式，理解概念。但是高中数学与大学数学在解题的思路上却存在着明显的不同。
高中数学中概念比较简单，但是题目却非常难，除了各种复杂的计算之外，还要使用各种各样的技巧，比如放缩法，待定系数法，换元法，数形结合法，裂项法，设而不求法，作差法等等，各种各样的技巧令人眼花缭乱。而所谓的解题高手或智商高的人，就是能从这么多纷繁复杂的技巧当中，迅速地选出合适且正确的技巧，并最终得到出题人想要的结果。不得不承认，这的确是一种智商高的表现。
而大学数学则与高中数学恰好相反，它的题目技巧性没有那么强，但是概念却非常难理解。如果说中学数学解题靠的是智商，那么大学数学解题靠的则是“洞察力”，看看你对数学概念的理解有多到位，多深刻。大学数学的题目通常就是对概念本质的考察，有时题目本身即可以看作某个概念更深层次的理解过程。学生不必纠结于高中数学那么纷繁复杂的技巧，而是应该平心静气，闭目沉思，对概念的理解越深入，那么做起题来就越容易。
尽管高智商的人通常也会具有敏锐的洞察力，但这两种能力毕竟是不同的，有时凝神静气的思索反而胜于灵光乍现的闪念。所以高中数学学得好的人，大学数学未必能学得好，反之高中数学学的不好的人，到了大学反而有可能如鱼得水。
大学数学该如何学习？
正因为有着以上种种的不同，因此大学数学的学习方法也与高中是截然不同的。在高中，课本只是提供了一个大纲，而真正的精华则在辅导书上；而到了大学则恰恰相反，全部的精华都在课本上。因此大学数学最重要的方法便是反复阅读课本。正常情况下，除了老师课堂讲的一遍，课下应至少再仔细精读两遍，而对于某些重点的或者较难理解的概念，则应该多次阅读，一个字都不放过，每一个词语和符号都要仔细推敲。
当然做题也是必须的，但大学的做题不同于高中，不是追求题海战术，更不是追求解题方法和解题技巧的训练，而是应该通过做题加深对概念的理解。大学数学的核心是概念，任何脱离概念而进行的练习都是无意义的。
